Question

（本题满分12分）已知椭圆E：（其中），直  线L与椭圆只有一个公共点T；两条平行于y轴的直线分别过椭圆的左、右焦点F₁、F₂，且直线L分别相交于A、B两点．

（Ⅰ）若直线L在轴上的截距为，求证： 直线L斜率的绝对值与椭圆E的离心率相等；（Ⅱ）若的最大值为120⁰，求椭圆E的方程．

Answer 1

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ)  

解析:

法一：（1）设T（x₀，y₀），由对称性，不妨设，∴，∴且；

∵直线L椭圆E只有一个公共点T，由椭圆E：得，求导

，∴直线L：，得；

∵直线L在轴上的截距为，令，得，∴；

∴直线L斜率的绝对值；

（2）直线L：与的交点，

设，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，

，当时，

 ；

∵且，∴，

∵最大值为120⁰，只需令，

∴，∴；∴∴椭圆E的方程为．

解法二：（1）依题意设直线L：，代入椭圆E：整理得：

（*），∵直线L椭圆E只有一个公共点T，

∴方程（*）的，

整理得：，①∵直线L在轴上的截距为，∴代入①得，∴；

（2）考虑对称性，不妨设，由①得，直线L：与的交点，设，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，，由①得，

当时，

 ，∵且，

∴，

∵最大值为120⁰，只需令，∴；

∴∴椭圆E的方程为．