Question

点M是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由圆M与X轴相切与焦点F，设M（c，y），则y=

b2

a

或y=-

b2

a

，所以圆的半径为

b2

a

，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c，PN=NQ=

( b2 a )2-c2

，由∠PQM为钝角，知

(a2-c2) 2

2c2

＞2c2，由此能够求出椭圆离心率的取值范围．

解答：解：∵圆M与X轴相切于焦点F，
∴不妨设M（c，y），则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于X轴）
M在椭圆上，则y=

b2

a

或y=-

b2

a

（a²=b²+c²），
∴圆的半径为

b2

a

，
过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c（PN，NQ均为半径，则△PQM为等腰三角形）
∴PN=NQ=

( b2 a )2-c2

，
∵∠PQM为钝角，则∠PMN=∠QMN＞45°
即PN=NQ＞MN=c
所以得

( b2 a )2-c2

＞c，即

b4

a2

-c2＞c2，
得

(a2-c2) 2

2c2

＞2c2，
a²-2c²+c²e²＞2c²

1

e2

-4+e²＞0，
e⁴-4e²+1＞0
（e²-2）²-3＞0
e²-2＜-

3

（0＜e＜1）
e²＜-

3

+2
∴0＜e＜

6 - 2

2

．
故答案为：（0，

6 - 2

2

）．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．