Question

已知点Q（x，y）位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（1）求动点Q（x，y）的坐标之间满足的关系式，并化简且指出横坐标x的范围；
（2）设（1）中的关系式表示的曲线为C，若直线l过点M（1，0）且交曲线C于不同的两点A、B，
    ①求直线l的斜率的取值范围；
    ②若点P满足

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)，且

EP

.

AB

=0，其中点E的坐标为（x₀，0）试求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出点的坐标，利用条件建立方程，化简可得结论；
（2））①由题意可直线l的斜率k存在且不为0，故可设方程为y=k（x-1），与曲线方程联立，根据x的范围，建立不等式，从而可得直线l的斜率的取值范围；
②确定点P为线段AB的中点，利用

EP

•

AB

=0可知，EP⊥AB，求出x₀的表达式，即可求x₀的取值范围．

解答：解：（1）设点Q（x，y）（x＞-3），由题意得x+3+

(x+1)2+y2

=4，-------------（2分）
化简得y²=-4x（x∈（-3，0]）-----------------------------------------------（6分）
（2）①由题意可直线l的斜率k存在且不为0，故可设方程为y=k（x-1），
由

y2=-4x y=k(x-1)

得，k²x²+（4-2k²）x+k²=0，x∈（-3，0]，
由△＞0，得k²＜1，---------------------------------（8分）
由x∈（-3，0]，令f（x）=k²x²+（4-2k²）x+k²，得

f(-3)＞0 f(0)≥0 -3＜ k2-2 k2 ≤0

，即k2＞

3

4

，
故

3

4

＜k2＜1-------------------------------------------（12分）
②由

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)可知，点P为线段AB的中点，∴P(

k2-2

k2

，-

2

k

)．
由

EP

•

AB

=0可知，EP⊥AB，
∴

2 k

x0- k2-2 k2

•k=-1，整理得，x0=-

2

k2

-1-------------------------（14分）
∵

3

4

＜k2＜1-，∴x₀的取值范围是(-

11

3

，-3)----------------------------------------（16分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．