题目内容

【题目】设M、N、T是椭圆 上三个点,M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1
(Ⅰ)若直线MN过原点O,直线MT、NT斜率分别为k1 , k2 , 求证k1k2为定值.
(Ⅱ)若M、N不是椭圆长轴的端点,点L坐标为(3,0),△M1N1L与△MNL面积之比为5,求MN中点K的轨迹方程.

【答案】解:(Ⅰ)设M(p,q),N(﹣p,﹣q),T(x0 , y0),则h1h2= , 又 两式相减得
即h1h2= =﹣
(Ⅱ)设直线MN与x轴相交于点R(r,0),sMNL= ×|r﹣3||yM﹣yN|
= |
由于△M1N1L与△MNL面积之比为5且|yM﹣yN|=| ,得
=5 ,r=4(舍去)或r=2.
即直线MN经过点F(2,0).设M(x1 , y1),N(x2 , y2),K(x0 , y0
①当直线MN垂直于x轴时,弦MN中点为F(2,0);
② 当直线MN与x轴不垂直时,设MN的方程为y=k(x﹣2),则
联立 (3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣48=0

x0=
消去k,整理得(x0﹣1)2+ =1(y0≠0).
综上所述,点K的轨迹方程为(x﹣1)2+ =1(x>0)
【解析】(Ⅰ)设M(p,q),N(﹣p,﹣q),T(x0 , y0),则h1h2= , 又 即可得h1h2(Ⅱ)设直线MN与x轴相交于点R(r,0),根据面积之比得r
即直线MN经过点F(2,0).设M(x1 , y1),N(x2 , y2),K(x0 , y0
分①当直线MN垂直于x轴时,②当直线MN与x轴不垂直时,设MN的方程为y=k(x﹣2)
x0= /span> 消去k,整理得(x0﹣1)2+ =1(y0≠0).

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