Question

设函数f（x）=4lnx-（x-1）²．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x²-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为f'（x）＞0的x的取值区间；
（II）利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）∵函数f（x）=4lnx-（x-1）²．
∴f′（x）=

4

x

-2x+2=

-2x2+2x+4

x

=

-2(x-2)(x+1)

x

（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得x∈（0，2）
故函数f（x）的单调递增区间为（0，2）
（II）关于x的方程f（x）+x²-4x-a=0
可化为4lnx-（x-1）²+x²-4x-a=4lnx-2x-1-a=0
令g（x）=4lnx-2x-1-a
则g′（x）=

4

x

-2
令g′（x）=0，则x=2，
则当0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数
故当方程f（x）+x²-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根时

g(1)=-3-a≤0 g(2)=4ln2-5-a＞0 g(e)=3-2e-a≤0

解得3-2e≤a＜4ln2-5
故实数a的取值范围为[3-2e，4ln2-5）

点评：本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．