Question

【题目】已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1 ， x2 ， 且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣ ． ∴f′（x）= = ，
∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=± ，则函数f（x）在（0， ）单调递减，在（ ，+∞）单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x1 ， x2 ， 则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1= ，x2=﹣ ，
且由f（x）的定义域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，
∴﹣ ＞﹣ 且﹣ ≠﹣2，解得a≠ ，则x1 ， x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣ +ln（1+ax2）﹣ =ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣
=ln（2a﹣1）2﹣ =ln（2a﹣1）2+ ﹣2．
令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠ 得，
当0＜a＜ 时，﹣1＜x＜0；当 ＜a＜1时，0＜x＜1．
令g（x）=lnx2+ ﹣2．
（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+ ﹣2，∴g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，
∴当0＜a＜ 时，f（x1）+f（x2）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+ ﹣2，g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，
∴当 ＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；
综上所述，a的取值范围是（ ，1）
【解析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．