题目内容
如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,M,N分别是其最高点、最低点,MC⊥x轴,且矩形MBNC的面积为4π.(1)求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一个解析式;
(2)求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调递减区间;
(3)试说明怎样由y=sinx的图象经过变换得到函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象.
【答案】分析:(1)由函数的最值求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,从而求得函数的解析式.
(2)令 2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,即可求得函数的减区间.
(3)根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,的出结论.
解答:解:(1)设函数的周期为T,则由题意可得=-=,∴T=π=,ω=2.
再矩形MBNC的面积为4π可得 2A•=4π 可得A=4.
再由五点法作图可得 2×+φ=,∴φ=.
故函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一个解析式为 f(x)=4sin(2x+).
(2)令 2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得 kπ-≤x≤kπ+,故函数的减区间为[kπ-,kπ+],k∈z.
(3)把y=sinx的图象向左平移个单位,再把图象上各个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;
再把所得的图象上各个点的纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变,即得函数f(x)=4sin(2x+)的图象.
点评:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+∅)的部分图象求解析式,正弦函数的单调减区间,函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,属于中档题.
(2)令 2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,即可求得函数的减区间.
(3)根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,的出结论.
解答:解:(1)设函数的周期为T,则由题意可得=-=,∴T=π=,ω=2.
再矩形MBNC的面积为4π可得 2A•=4π 可得A=4.
再由五点法作图可得 2×+φ=,∴φ=.
故函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一个解析式为 f(x)=4sin(2x+).
(2)令 2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得 kπ-≤x≤kπ+,故函数的减区间为[kπ-,kπ+],k∈z.
(3)把y=sinx的图象向左平移个单位,再把图象上各个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;
再把所得的图象上各个点的纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变,即得函数f(x)=4sin(2x+)的图象.
点评:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+∅)的部分图象求解析式,正弦函数的单调减区间,函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,属于中档题.
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