Question

若x，y∈R⁺且2x+8y-xy=0，则x+y的最小值为

18

．

Answer 1

分析：等式2x+8y-xy=0变形为

2

y

+

8

x

=1，则x+y=（x+y）（

2

y

+

8

x

），根据基本不等式即可得到答案．

解答：解：由题意2x+8y=xy即：

2

y

+

8

x

=1．
∵x，y∈R⁺，利用基本不等式：则x+y=（x+y）（

2

y

+

8

x

）=

2x

y

+

8y

x

+10≥8+10=18．
当且仅当

2x

y

=

8y

x

，即x=2y，
∵

2

y

+

8

x

=1，∴x=12，y=6时等号成立，
此时x+y的最小值为18．
故答案为18．

点评：本题以等式为载体，主要考查基本不等式的应用问题，题中将等式变形，从而利用1的代换是解题的关键，有一定的技巧性，属于基础题目．