题目内容
已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．（I）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（II）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O-PM-D的正切值为2
| 6 |
分析：（I）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．
（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值为2
，即可求a：b的值．
（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值为2
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解答：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC
因为BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．
（II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD
因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A-PM-D的平面角
又OD=
a，OM=
，AM=
，且
=
从而OH=
•
=
∴tan∠OHD=
=
=2
所以9a2=16b2，即
=
．
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC
因为BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．
（II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD
因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A-PM-D的平面角
又OD=
| ||
| 2 |
| a |
| 4 |
| 3a |
| 4 |
| OH |
| OM |
| AP |
| PM |
从而OH=
| b | ||||
|
| a |
| 4 |
| ab | ||
|
∴tan∠OHD=
| OD |
| OH |
| ||
| 2b |
| 6 |
所以9a2=16b2，即
| a |
| b |
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．
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