题目内容
【题目】已知双曲线的左、右焦点分别为
,过点
的动直线与双曲线相交于
两点.在
轴上是否存在定点
,使
为常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,.
【解析】
假设在轴上存在定点
,使
为常数,当
不与
轴垂直时,设出直线
的方程,然后与双曲线方程联立消去
得到关于
的一元二次方程,进而可得到两根之和与两根之积,表示出向量
并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出
的坐标;当
与
轴垂直时可直接得到
,
的坐标,再由
,可确定答案.
解:由条件知,
设点的坐标分别为
,
假设在轴上存在定点
,使
为常数,
当不与
轴垂直时,设直线
的方程是
,
代入,得
,
,
∴
,
∵是与
无关的常数,
∴,即
,此时
;
当与
轴垂直时,点
的坐标可分别设为
,
此时;
故在轴上存在定点
,使
为常数.

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