Question

已知p：x∈A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x²-2mx+m²-9≤0，x∈R，m∈R}
（1）若A∩B=[2，3]，求实数m的值；
（2）若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得A={x|-1≤x≤3，x∈R}，B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}，因为A∩B=[2，3]所以m=5．
（2）B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}可得C_RB={x|x＜m-3或x＞m+3，x∈R，m∈R}，因为p是¬q的充分条件，所以A⊆∁_RB，所以m＞6或m＜-4．
解答：解：（1）由题意得A={x|-1≤x≤3，x∈R}，B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}，
∵A∩B=[2，3]如图所示

∴m-3=2
∴m=5
所以实数m的值为5．
（2）由题意得q：x∈B={x|x²-2mx+m²-9≤0，x∈R，m∈R}
所以B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}，
所以¬q：C_RB={x|x＜m-3或x＞m+3，x∈R，m∈R}，
∵p是¬q的充分条件，
∴A⊆∁_RB，
∴m＞6或m＜-4．
所以实数m的取值范围是m＞6或m＜-4．
点评：本题不但考查集合的交集、并集、补集得知识点还结合不等式考查了充分条件的转化、判断及应用，充要条件的判断也可以转化为与两个条件对应的两个集合之间的判断．