Question

正三棱锥底面三角形的边长为

3

，侧棱长为2，则其体积为

 

．

Answer 1

分析：由正三棱锥的底面边长是

3

，可以求出底面积和底面△的高；由侧棱长是2，可以求出侧面上的斜高，从而求得三棱锥的高；即得三棱锥的体积．

解答：解：如图，在正三棱锥P-ABC中，底面边长AB=

3

，侧棱长PA=2，
设顶点P在底面的射影为O，连接CO并延长，交AB与点D；
连接PD，则CD⊥AB，PD⊥AB；
在正△ABC中，AB=

3

，
∴CD=

3

2

•AB=

3

2

×

3

=

3

2

，
OD=

1

3

•CD=

1

3

×

3

2

=

1

2

，
PD=

PA2-AD2

=

22-( 3 2 )2

=

13

2

，
∴PO=

PD2-OD2

=

( 13 2 ) 2-( 1 2 )2

=

3

，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=

1

3

•S_△ABC•PO=

1

3

×

3

4

×(

3

)2×

3

=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查了三棱锥体积公式的应用，关键是求出三棱锥的高；求高时借助空间中垂直关系和勾股定理得出，是基础题．