题目内容

求下列函数的导数:
(1)y=(1-
x
)(1+
1
x
);
(2)y=
lnx
x

(3)y=tanx;
(4)y=xe1-cosx
分析:(1)先将式子展开化简,再由幂函数的导数求解即可.
(2)由两个函数商的求导法则,结合对数函数的导数纠结即可.
(3)将tanx转化为正弦和余弦商的形式,由两个函数商的求导法则求解.
(4)首先将函数看作两个函数y=x和y=e1-cosx的乘积形式,利用两个函数积的求导法则求解,
而y=e1-cosx为复合函数,求导时应用复合函数求导法则.
解答:解:(1)∵y=(1-
x
)(1+
1
x
)=
1
x
-
x
=x-
1
2
-x
1
2

∴y′=(x-
1
2
)′-(x
1
2
)′=-
1
2
x-
3
2
-
1
2
x-
1
2

(2)y′=(
lnx
x
)′=
(lnx)′x-x′lnx
x2
=
\f(1
x
•x-lnx,x2)
=
1-lnx
x2

(3)y′=(
sinx
cosx
)′=
(sinx)′cosx-sinx(cosx)′
cos2x

=
cosxcosx-sinx(-sinx)
cos2x
=
1
cos2x

(4)y′=(xe1-cosx)′=e1-cosx+x(e1-cosx)′
=e1-cosx+x[e1-cosx•(1-cosx)′]
=e1-cosx+xe1-cosx•sinx
=(1+xsinx)e1-cosx
点评:本题考查导数的求解、导数的运算法则、复合函数的导数,考查运算能力.
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