题目内容
设向量
，
满足|
|=2，|
|=1且
，
的夹角为
，若向量2t
+7
与
+t
的夹角为非钝角，则实数t的取值范围是
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| π |
| 3 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
（-∞，-7）∪（-
，
）∪（
，+∞）
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（-∞，-7）∪（-
，
）∪（
，+∞）
．| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
分析：题干错误：向量2t
+7
与
+t
的夹角为非钝角，可能是：向量2t
+7
与
+t
的夹角为钝角，
由题意可得
•
=1，（2t
+7
）•（
+t
）＜0，且向量2t
+7
与
+t
不共线．由（2t
+7
）•（
+t
）＜0 求得 t的范围；
由
≠
，解得t的范围，再把这2个t的范围取交集，即得所求．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
由题意可得
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
由
| 2t |
| 1 |
| 7 |
| t |
解答：解：由题意可得
•
=2×1×cos
=1，
由于向量2t
+7
与
+t
的夹角为钝角，可得（2t
+7
）•（
+t
）＜0，且向量2t
+7
与
+t
不共线．
由（2t
+7
）•（
+t
）＜0 可得 2t2+15t+7＜0，解得 t＜-7，或 t＞-
．
再由向量2t
+7
与
+t
不共线，可得
≠
，解得 t≠±
．
综上可得，实数t的取值范围是 （-∞，-7）∪（-
，
）∪（
，+∞），
故答案为 （-∞，-7）∪（-
，
）∪（
，+∞）．
| e1 |
| e2 |
| π |
| 3 |
由于向量2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
由（2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
再由向量2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| 2t |
| 1 |
| 7 |
| t |
| ||
| 2 |
综上可得，实数t的取值范围是 （-∞，-7）∪（-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
故答案为 （-∞，-7）∪（-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
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