Question

己知。
（Ⅰ）若a=-1，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数只有一个零点；
（Ⅲ）的图象与x轴交于两点，AB中点为，求证：。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，，

∴
即对恒成立，
∴只需，
∵x>0，
∴
当且仅当时，等号成立，
∴
∴
（Ⅱ）当时，，
其定义域为
∴，
∵x>0，
∴当0<x<1时，0；
当x>1时，；
∴
∴，
，
∴函数只有一个零点。
（Ⅲ），
两式相减得

由及，得

           ，
令且，
，
∴
∴，
，
∴。