Question

己知实数m≠0，又

a

=(x2-1，mx)，

b

=(mx，

1

m

)，设函数f(x)=

a

•

b

．
（1）若m＞0，且f（-2）=f（2），求m的值；
（2）若对一切正整数k，有f（2k）＞f（2k-1），求m的取值范围．

Answer 1

分析：可先由题条件

a

=(x2-1，mx)，

b

=(mx，

1

m

)，设函数f(x)=

a

•

b

，整理出函数的解析式．
（1）由f（-2）=f（2），建立起关于m的方程，解此方程求出m的值；
（2）由题意，对一切正整数k，有f（2k）＞f（2k-1）恒成立，代入函数解析式可得（4k²-1）m^2k+m^2k-1＞（4k²-4k）m^2k-1+m^2k-2恒成立，可将此不等式整理成关于k的二次函数，转化为g（k）=4（m²-m）k²+4mk-m²+m-1对一切正整数k恒成立的问题，由于最高次项的系数含有要求的参数，且其符号对二次函数的开口方向有关，故要对二次项系数分类讨论，解出每一类中的参数的范围，再求它们的并集得出m的取值范围

解答：解：

a

=(x2-1，mx)，

b

=(mx，

1

m

)，设函数f(x)=

a

•

b

．
可得f（x）=（x²-1）m^x+m^x-1
（1）由题知3m^-2+m^-3=3m²+m，即m^-4（3m²+m）=3m²+m，
∴m^-4=1，
∴m=±1，又m＞0，
∴m=1；
（2）由题知（4k²-1）m^2k+m^2k-1＞（4k²-4k）m^2k-1+m^2k-2，两边同除m^2k-2，
得（4k²-1）m²+m＞（4k²-4k）m+1，
整理得4（m²-m）k²+4mk-m²+m-1＞0
记g（k）=4（m²-m）k²+4mk-m²+m-1
①当m²-m＞0，即m＞1或m＜0时，g（k）的对称轴为k=-

1

2(m-1)

＜1
故要使g（k）＞0对一切正整数k恒成立，只需g（1）＞0
即3m²+m-1＞0，解得m＞

-1+ 13

6

或m＜

-1- 13

6

∴m＞1或m＜

-1- 13

6

②当m²-m=0，即m=0或1时，m=0时，等价于-1＞0恒成立，显然不符合题意m=1时，等价于4k-1＞0对一切正整数k恒成立，显然符合题意
③当m²-m＜0，即0＜m＜1时，g（k）是开口向下的抛物线，由图象知对一切正整数k，g（k）＞0不可能恒成立
综上所述m＜

-1- 13

6

或m≥1．

点评：本题考点是平面向量综合题，考察了数量积的运算，解方程，恒成立的不等式及二次函数的性质，解题的关键是第二小题中不等式恒成立问题的转化，将不等式恒成立转化为二次函数恒成立，是本题的亮点，也是本题的难点，熟练熟练掌握二次函数的性质是解本题的重点，本题考察了分类讨论的思想，转化的思想及推理判断的能力，是难度较大的题，易因为不知怎么转化致使无法下手．