Question

问题1：已知函数f(x)=

x

1+x

，则f(

1

10

)+f(

1

9

)+…+f(

1

2

)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=

19

2

．
我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(

1

2

)+f(2)、…、f(

1

9

)+f(9)、f(

1

10

)+f(10)可一般表示为f(

1

x

)+f(x)=

1 x

1+ 1 x

+

x

1+x

=

1

1+x

+

x

1+x

=

1+x

1+x

=1为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
问题2：已知函数f(x)=

1

2x+ 2

，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

Answer 1

分析：问题1：根据f(

1

x

)+f(x)=

1 x

1+ 1 x

+

x

1+x

=

1

1+x

+

x

1+x

=

1+x

1+x

=1为定值，从而所求式子分组求和可求；
问题2：先研究f(x)+f(1-x)=

2

2

，再分组求和可求．

解答：解：问题1：∵f(

1

x

)+f(x)=

1 x

1+ 1 x

+

x

1+x

=

1

1+x

+

x

1+x

=

1+x

1+x

=1
∴f(

1

10

)+f(

1

9

)+…+f(

1

2

)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=9+

1

2

=

19

2

（4分）
问题2：f(x)+f(1-x)=

1

2x+ 2

+

1

21-x+ 2

=

2

2 (2x+ 2 )

+

2x

2+ 2 •2x

=

1

2

=

2

2

（10分）
f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）
=1004

2

（14分）

点评：本题的考点是类比推理，关键是理解问题1，发现解决问题的规律，从而得解．