Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC．D为BC的中点，M为AA₁的中点．
（1）求证：AD∥平面MB₁C；
（2）求证：平面MB₁C⊥侧面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）取B₁C的中点为N，连接MN、DN，所以可得ND∥B₁B，并且ND=

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B1B，结合题意得到：ND∥AM，并且ND=AM，所以四边形MNDA为平行四边形，所以AD∥NM，即可得线面平行．
（2）由题意可得：AD⊥BC．所以由面面垂直的性质定理可得：AD⊥侧面BB₁C₁C，由（1）可得AD∥NM，所以MN⊥侧面BB₁C₁C，进而得到面面垂直．

解答：证明：（1）取B₁C的中点为N，连接MN、DN，
又因为D为BC 的中点，
所以ND∥B₁B，并且ND=

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B1B，
因为M为AA₁的中点，
所以AM∥B₁B，并且AM=

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B1B．
可得ND∥AM，并且ND=AM，
所以四边形MNDA为平行四边形，
所以AD∥NM，
所以AD∥平面MB₁C．
（2）因为AB=AC，并且D为BC的中点，
所以AD⊥BC．
又因为侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，侧面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥侧面BB₁C₁C，
由（1）可得AD∥NM，
所以MN⊥侧面BB₁C₁C，
又因为MN?平面MB₁C，
所以平面MB₁C⊥侧面BB₁C₁C．

点评：主要考查利用线线平行，证明线面平行；以及通过在一个面内找到一条直线和另一个面垂直，进而来证明面面垂直．