题目内容
在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．
分析：（1）由AB=AC，且D是BC的中点得到AD⊥BC，再由侧面BB1C1C⊥底面ABC，结合面面垂直的性质得到AD⊥侧面BB1C1C．从而证得答案；
（2）由AM=MA1，可想到延长B1A1与BM交于N，连结C1N，由中位线知识结合已知得到A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥C1B1，然后由面面垂直的性质及判定得答案．
（2）由AM=MA1，可想到延长B1A1与BM交于N，连结C1N，由中位线知识结合已知得到A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥C1B1，然后由面面垂直的性质及判定得答案．
解答：
证明：（1）如图，
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，
由两面垂直的性质，∴AD⊥侧面BB1C1C．
又CC1?面BB1C1C，∴AD⊥CC1；
（2）延长B1A1与BM的延长线交于N，连结C1N，
∵AM=MA1，且MA1∥BB1，∴NA1=A1B1，
∵AB=AC，∴A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1，
∴A1为△B1C1N外接圆的圆心，
∴C1N⊥C1B1，
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，
由面面垂直的性质，∴C1N⊥侧面BB1C1C，
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C，∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．
证明：（1）如图，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，
由两面垂直的性质，∴AD⊥侧面BB1C1C．
又CC1?面BB1C1C，∴AD⊥CC1；
（2）延长B1A1与BM的延长线交于N，连结C1N，
∵AM=MA1，且MA1∥BB1，∴NA1=A1B1，
∵AB=AC，∴A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1，
∴A1为△B1C1N外接圆的圆心，
∴C1N⊥C1B1，
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，
由面面垂直的性质，∴C1N⊥侧面BB1C1C，
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C，∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．
点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了直线与平面垂直的性质，解答此题的关键在于充分利用了中点，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
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