Question

8．已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1），其导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x）对于任意实数x恒成立，则（　　）

• A． f（1）＞e，f（2012）＞e²⁰¹²
• B． f（1）＞e，f（2012）＜e²⁰¹²
• C． f（1）＜e，f（2012）＞e²⁰¹²
• D． f（1）＜e，f（2012）＜e²⁰¹²

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求导g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，从而可得a＞e，从而解得．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，故g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＜f′（x）对于任意实数x恒成立，
∴g′（x）＞0对于任意实数x恒成立，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$（\frac{a}{e}）^{x}$在R上是增函数，
故$\frac{a}{e}$＞1，即a＞e，
∴f（1）=a＞e，f（2012）=a²⁰¹²＞e²⁰¹²，
故选：A．

点评 本题考查了导数的综合应用，关键在于构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$．