题目内容
己知三棱柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
，
，又知
(1)求证：
平面
；
(2)求点C到平面
的距离；
(3)求二面角
余弦值的大小．
【答案】
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（1）
得
，因为
底
，所以
，
，所以
面
，所以
……3分
因为
，
，所以
底
……1分
（2）由（1）得
，所以
是菱形，……1分
所以
，
，……1分
由
，得
……2分
（3）设
，作
于
，连
，由（1）所以
，所以
为二面角平面角，……2分
在
中
，所以
，所以二面角余弦
……2分
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（1）如图，取
的中点
，则
，因为
，所以
，又
平面
，以
为
轴建立空间坐标系，则
，
，
，
，
，
……1分
，
，
， ……1分
由
，知
，
……1分
又
，从而
平面
； ……1分
（2）由
，得
……1分
设平面
的法向量为
，
，
，所以
，设
，则
……2分
所以点
到平面的距离
……1分
（3）再设平面
的法向量为
，
，， ……1分
所以
，设，则
，
……2分
故
，根据法向量的方向可知二面角
的余弦值大小为
……1分
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