题目内容
【题目】已知椭圆左顶点为M,上顶点为N,直线MN的斜率为
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)直线l:与椭圆交于A,C两点,与y轴交于点P,以线段AC为对角线作正方形ABCD,若
.
()求椭圆方程;
()若点E在直线MN上,且满足
,求使得
最长时,直线AC的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据直线MN的斜率可得,即可求出离心率;
(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求得
及
,根据勾股定理即可求出b的值;
根据平行间的距离公式求出
,再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出
最长时
的值,即可求出直线
的方程。
解:(Ⅰ)左顶点为M,上顶点为N,直线MN的斜率为
.
,
,
(Ⅱ)由
Ⅰ
知椭圆方程为
,
设,
,线段AC中点Q
则,整理得:
,
由,
则,
,
,
则,
由l与y轴的交点,
,
,
,
,
即,
椭圆方程为
;
由
可知
,
直线MN的方程为
,
直线MN与直线l的距离为
,
点E在直线MN上,且满足
,
,
,
当时,此时
最长,
故直线AC的方程.

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