题目内容
已知函数f(x)=(a-1 | 2 |
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若?x∈[1,3],使f(x)<(x+1)lnx成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)的图象在区间(1,+∞)内恒在直线y=2ax下方,求实数a的取值范围.
分析:(1)当a=0时,求函数f(x)的定义域,求出函数的导数,利用导数大于0,即可得到单调递增区间;
(2)若?x∈[1,3],使f(x)<(x+1)Inx成立,就出a的不等式,构造函数求出导数,得到函数的最小值,即可求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)的图象在区间(1,+∞)内恒在直线y=2ax下方,构造函数g(x)=f(x)-2ax=(a-
)x2-2ax+lnx,通过导数对a进行讨论,当a∈[-
,
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
(2)若?x∈[1,3],使f(x)<(x+1)Inx成立,就出a的不等式,构造函数求出导数,得到函数的最小值,即可求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)的图象在区间(1,+∞)内恒在直线y=2ax下方,构造函数g(x)=f(x)-2ax=(a-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
解答:解:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),
(1)当a=0时,f(x)=-
x2+lnx,f′(x)=-x+
=
;
由f'(x)>0,结合定义域解得0<x<1,
∴f(x)的单调递增区间为(0,1).
(2)将f(x)<(x+1)lnx化简得(a-
)x2<xlnx,∵x∈[1,3]∴有a<
+
令g(x)=
+
,则g/(x)=
,由g′(x)=0解得x=e.
当1≤x<e时,g′(x)>0;当e<x≤3时,g′(x)<0
故g(x)max=g(e)=
+
∴?x∈[1,3],使f(x)<(x+1)lnx成立等价于a<g(x)max=g(e)=
+
即a的取值范围为(-∞,
+
)
(3)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
)x2-2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+
=
=
①若a>
,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
,
当x2>x1=1,即
<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0,
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0,
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-
≤0?a≥-
,
由此求得a的范围是[-
,
].
综合①②可知,当a∈[-
,
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
(1)当a=0时,f(x)=-
1 |
2 |
1 |
x |
-x2+1 |
x |
由f'(x)>0,结合定义域解得0<x<1,
∴f(x)的单调递增区间为(0,1).
(2)将f(x)<(x+1)lnx化简得(a-
1 |
2 |
lnx |
x |
1 |
2 |
令g(x)=
lnx |
x |
1 |
2 |
1-lnx |
x2 |
当1≤x<e时,g′(x)>0;当e<x≤3时,g′(x)<0
故g(x)max=g(e)=
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e |
1 |
2 |
∴?x∈[1,3],使f(x)<(x+1)lnx成立等价于a<g(x)max=g(e)=
1 |
e |
1 |
2 |
即a的取值范围为(-∞,
1 |
e |
1 |
2 |
(3)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
1 |
2 |
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+
1 |
x |
(2a-1)x2-2ax+1 |
x |
(x-1)[(2a-1)x-1] |
x |
①若a>
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2 |
1 |
2a-1 |
当x2>x1=1,即
1 |
2 |
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
1 |
2 |
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-
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由此求得a的范围是[-
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综合①②可知,当a∈[-
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点评:本题考查函数的导数的应用,构造法的应用,考查转化思想,函数与方程的思想,高考的压轴题.
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
是定义域上的递减函数,则实数a的取值范围是( )
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A、(
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B、(
| ||||
C、(
| ||||
D、[
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