题目内容

已知函数f(x)=(a-
12
)x2+Inx(a∈R)

(1)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若?x∈[1,3],使f(x)<(x+1)lnx成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)的图象在区间(1,+∞)内恒在直线y=2ax下方,求实数a的取值范围.
分析:(1)当a=0时,求函数f(x)的定义域,求出函数的导数,利用导数大于0,即可得到单调递增区间;
(2)若?x∈[1,3],使f(x)<(x+1)Inx成立,就出a的不等式,构造函数求出导数,得到函数的最小值,即可求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)的图象在区间(1,+∞)内恒在直线y=2ax下方,构造函数g(x)=f(x)-2ax=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx
,通过导数对a进行讨论,当a∈[-
1
2
1
2
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
解答:解:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),
(1)当a=0时,f(x)=-
1
2
x2+lnx
f′(x)=-x+
1
x
=
-x2+1
x

由f'(x)>0,结合定义域解得0<x<1,
∴f(x)的单调递增区间为(0,1).
(2)将f(x)<(x+1)lnx化简得(a-
1
2
)x2<xlnx
,∵x∈[1,3]∴有a<
lnx
x
+
1
2

g(x)=
lnx
x
+
1
2
,则g/(x)=
1-lnx
x2
,由g′(x)=0解得x=e.
当1≤x<e时,g′(x)>0;当e<x≤3时,g′(x)<0
g(x)max=g(e)=
1
e
+
1
2

∴?x∈[1,3],使f(x)<(x+1)lnx成立等价于a<g(x)max=g(e)=
1
e
+
1
2

即a的取值范围为(-∞,
1
e
+
1
2
)

(3)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx
,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
g′(x)=(2a-1)x-2a+
1
x
=
(2a-1)x2-2ax+1
x
=
(x-1)[(2a-1)x-1]
x

①若a>
1
2
,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
1
2a-1

当x2>x1=1,即
1
2
<a<1
时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0,
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
1
2
,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0,
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-
1
2
≤0
?a≥-
1
2

由此求得a的范围是[-
1
2
1
2
].
综合①②可知,当a∈[-
1
2
1
2
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
点评:本题考查函数的导数的应用,构造法的应用,考查转化思想,函数与方程的思想,高考的压轴题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网