题目内容
某市环境研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f(x)=|
sin(
x)+
-a|+2a，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[0，
]．若用每天f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（Ⅰ）令t=
sin(
x)，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数M（a）；
（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合环境污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？
| 1 |
| 2 |
| π |
| 32 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
（Ⅰ）令t=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 32 |
（Ⅱ）求函数M（a）；
（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合环境污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？
分析：（I）根据x的取值范围求出
的取值范围，最后根据正弦函数的性质从而可求出t的取值范围；
（Ⅱ）由（I）化简f（x）的解析式，讨论a的范围，去掉绝对值，从而求出函数M（a）；
（Ⅲ）根据分段函数，分别研究每段上的最大值，然后与2进行比较，从而确定是否超标．
| πx |
| 32 |
（Ⅱ）由（I）化简f（x）的解析式，讨论a的范围，去掉绝对值，从而求出函数M（a）；
（Ⅲ）根据分段函数，分别研究每段上的最大值，然后与2进行比较，从而确定是否超标．
解答：解：（Ⅰ）x∈[0，24]，
∈[0，
]，t∈[0，
]． …（4分）
（Ⅱ）令g(t)=|t+
-a|+2a=|t-(a-
)|+2a，t∈[0，
]．
当a-
＜
，0≤a＜
时，(g(t))max=g(
)=|
-a|+2a=a+
． …（6分）
当a-
≥
，
≤a＜
时，(g(t))max=g(0)=|
-a|+2a=3a-
． …（8分）
M（a）=
…（10分）
（Ⅲ）当a∈[0，
)时，M（a）是增函数，M(a)＜M(
)=
＜2…（11分）
当a∈[
，
]时，M（a）是增函数，M(a)≤M(
)=
＜2．…（13分）
所以，市中心污染指数没有超标 …（15分）
| πx |
| 32 |
| 3π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）令g(t)=|t+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
当a-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
当a-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
M（a）=
|
（Ⅲ）当a∈[0，
| 7 |
| 12 |
| 7 |
| 12 |
| 17 |
| 12 |
当a∈[
| 7 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 23 |
| 12 |
所以，市中心污染指数没有超标 …（15分）
点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，以及利用单调性求最值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[0，
]．若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M(a)．
，x∈[0，24]，求t的取值范围；
，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[0，
]．若用每天f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
，x∈[0，24]，求t的取值范围；