题目内容
【题目】(本题满分14分)已知函数。
(1)若曲线在点
处的切线
与直线
垂直,求实数
的值;
(2)若恒成立,求实数
的取值范围;
(3)证明:
【答案】(1)(2)
(3)证明见解析
【解析】试题分析::利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程,注意这个点的切点.(2)对于恒成立的问题,常用到以下两个结论:(1)
,(2)
(3)证明不等式,注意应用前几问的结论.
试题解析:(1)函数的定义域为,
所以
又切线与直线
垂直,
从而,
解得 ,
(2)若,则
则
在
上是增函数
而不成立,故
若,则当
时,
;当
时,
所以
在
上是增函数,在
上是减函数,
所以的最大值为
要使恒成立,只需
,解得
(3)由(2)知,当时,有
在
上恒成立,且
在
上是增函数,
所以
在
上恒成立 .
令,则
令则有
以上各式两边分别相加,得
即故
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