题目内容
【题目】（本题满分14分）已知函数
。
（1）若曲线
在点
处的切线
与直线
垂直，求实数
的值；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）证明： 
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】试题分析：：利用导数的几何意义求曲线在点
处的切线方程，注意这个点的切点.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）
，（2）
（3）证明不等式，注意应用前几问的结论.
试题解析：（1）函数的定义域为
，
所以
又切线
与直线
垂直，
从而， 
解得 ,
（2）若
，则
则
在
上是增函数
而
不成立，故
若
，则当
时， 
；当
时， 
所以
在
上是增函数，在
上是减函数,
所以
的最大值为
要使
恒成立，只需
，解得
（3）由（2）知，当
时，有
在
上恒成立，且
在
上是增函数， 
所以
在
上恒成立 .
令
，则
令
则有
以上各式两边分别相加，得
即
故
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