题目内容

(本题满分12分) 已知函数=,在x=1处取得极值为2.(1)求函数的解析式;(2)若函数在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数m的取值范围;(3)若P(x0,y0)为=图象上的任意一点,直线l与=的图象相切于点P,求直线l的斜率的取值范围.

(1)     (2)m∈(-1,0)     


解析:

(1)已知函数=,∴ =,

又函数f(x)在x=1处取得极值2,∴=.

(2)∵==.由>0,得4-4x2>0,即-1<x<1,

所以= 的单调增区间为(-1,1).因函数在(m,2m+1)上单调递增,则有解得-1<m≤0,即m∈(-1,0)时,函数在(m,2m+1)上为增函数.

(3)=,∴=,

直线l的斜率为k===4[].

=t,t∈(0,1),则直线l的斜率k=4(2t2-t),t∈(0,1)∴k∈[-,4],即直线l的斜率k的取值范围是[-,4][或者由k=转化为关于x02的方程,根据该方程有非负根求解]

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