Question

6．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x-4a，x＜1}\\{lgx，x≥1}\end{array}\right.$ 是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，3）
• C． [$\frac{3}{5}$，3）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 先分类讨论函数各段，使各段均为增函数，求出相应a的范围，最后取它们的交集．

解答 解：①当x＜1时，f（x）=（3-a）x-4a，
∵f（x）为（-∞，1）上为增函数，所以3-a＞0，
解得a＜3，且x→1时，f（x）→3-5a，
②当x≥1时，f（x）=lgx，单调递增，符合题意，且f（1）=0，
要使f（x）在R上单调递增，结合函数图象，须满足$\left\{\begin{array}{l}{a＜3}\\{3-5a≤0}\end{array}\right.$，
解得a∈[$\frac{3}{5}$，3），
故选：C．

点评 本题主要考查了函数的单调性，涉及对数函数和一次函数的单调性，体现了分类讨论的解题思想，属于中档题．