题目内容
【题目】已知圆与直线
相离,
是直线
上任意点,过
作圆
的两条切线,切点为
,
.
(1)若,求
;
(2)当点到圆
的距离最小值为
时,证明直线
过定点.
【答案】(1)4;(2)证明见解析.
【解析】
(1) 连接交于点
,可求出
,从而可求出
,在直角三角形中,可求出
,由勾股定理可知
的长度.
(2)由距离最小值可知圆心到直线的距离为,结合点到直线的距离公式可求出圆心坐标,设
,结合勾股定理可知
,从而可求出以
为圆心,
为半径的圆
的方程,联立圆
与圆
,整理可得
,令
,即可求出定点的坐标.
(1)解:连接交于点
,由圆的性质可知
,且
,
因为,所以其半径
,即
,
所以,则
,
所以,则
(2)解:过作直线
的垂线,当垂足为
时,点
到圆
的距离最小,
则,解得
或
(舍去),所以
,
设,则
,
则以为圆心,
为半径的圆
,
则是圆
与圆
的公共弦,则联立得
,
两方程相减可得,令
,解得
所以直线过定点
.
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