题目内容

【题目】如图所示,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,ABDC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.

(1)设MPC上的一点,求证:平面MBD⊥平面PAD;

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】(1)证明见解析;(2) 16.

【解析】试题分析:

(1)证得ADBD,而面PAD⊥面ABCD,∴BD⊥面PAD,∴面MBD⊥面PAD.

(2)作辅助线POAD,PO为四棱锥PABCD的高,求得S四边形ABCD=24.VPABCD=16.

试题解析:

(1)证明:在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4,∴AD2BD2AB2.∴ADBD.

又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCDAD,BDABCD,∴BD⊥面PAD.

BDBDM,∴面MBD⊥面PAD.

(2)解:过PPOAD,

∵面PAD⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD,即PO为四棱锥PABCD的高.

又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO=2.

在底面四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,∴四边形ABCD为梯形.

在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形的高.

S四边形ABCD×=24.

VPABCD×24×2=16.

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