题目内容
已知偶函数f(x)对任意x均满足f(3+x)+f(-1-x)=6,且当x∈[1,2]时,f(x)=x+2.若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=2有五个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )
A、(1,2) | ||||
B、(2,2
| ||||
C、(2,2
| ||||
D、(2
|
分析:依题意,可求得偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,是以4为周期的函数,作出y=f(x)的图象后,构造函数g(x)=loga(x+2),h(x)=f(x)-2,作图分析即可求得答案.
解答:解:∵f(3+x)+f(-1-x)=6,
令-1-x=t,则x=-1-t,3+x=2-t,
∴f(t)+f(2-t)=6,
∴f(-t)+f(2+t)=6,又f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),
∴f(t)=f(-t),
∴f(2+t)=f(2-t),
∴f(2+x)=f(2-x),
∴偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称;①
由f(x)+f(2+x)=6,知f(4+x)+f(2+x)=6,
∴f(4+x)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数;②
∵当x∈[1,2]时,f(x)=x+2,
∴令-1<x<0,则1<x+2<2,
∴f(x+2)=(x+2)+2=6-f(x),
∴f(x)=2-x(-1<x<0);
同理可求,当0<x<1时,f(x)=x+2;
∴y=f(x)的图象如下:
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由f(x)-loga(x+2)=2得:loga(x+2)=f(x)-2,
令g(x)=loga(x+2),h(x)=f(x)-2,
方程f(x)-loga(x+2)=2有五个不相等的实数根?g(x)=loga(x+2)与h(x)=f(x)-2有5个交点,作图如下:
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由图知,0<loga(6+2)<2且loga(10+2)>2,
解得:2
<a<2
.
故选:D.
令-1-x=t,则x=-1-t,3+x=2-t,
∴f(t)+f(2-t)=6,
∴f(-t)+f(2+t)=6,又f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),
∴f(t)=f(-t),
∴f(2+t)=f(2-t),
∴f(2+x)=f(2-x),
∴偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称;①
由f(x)+f(2+x)=6,知f(4+x)+f(2+x)=6,
∴f(4+x)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数;②
∵当x∈[1,2]时,f(x)=x+2,
∴令-1<x<0,则1<x+2<2,
∴f(x+2)=(x+2)+2=6-f(x),
∴f(x)=2-x(-1<x<0);
同理可求,当0<x<1时,f(x)=x+2;
∴y=f(x)的图象如下:
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由f(x)-loga(x+2)=2得:loga(x+2)=f(x)-2,
令g(x)=loga(x+2),h(x)=f(x)-2,
方程f(x)-loga(x+2)=2有五个不相等的实数根?g(x)=loga(x+2)与h(x)=f(x)-2有5个交点,作图如下:
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由图知,0<loga(6+2)<2且loga(10+2)>2,
解得:2
2 |
3 |
故选:D.
点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查函数的对称性、周期性的确定及应用,考查转化思想与作图能力,属于难题.
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