Question

已知点，直线，动点P到点F的距离与到直线的距离相等．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值.

Answer 1

（1）；（2）或。 

解析试题分析：(1)显然动点的轨迹满足抛物线的定义，故用定义去求轨迹方程；（2）法一：由题意知，故设直线FD的方程为，与抛物线方程联立可得点的横坐标，再由抛物线的定义求出，把直线的方程与抛物线方程联立，再由弦长公式求出的长，是用来表示的，然后令，可得关于的方程，从而求出的值；法二：同法一一样先求出点的坐标，再把直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两点的横坐标和与积， 又因为四边形FABD是平行四边形，所以，由此可得两点的横坐标的关系，结合韦达定理得到的结论找到一个关于的方程，
解方程即可，需根据点的坐标进行分情况讨论。
试题解析：（1）依题意，动点P的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线, 
所以动点P的轨迹C的方程为
（2）解法一：因为，故直线FD的方程为,
联立方程组消元得：，
解得点的横坐标为或 , 由抛物线定义知或 
又由 消元得：。
设，，则且,
所以
因为FABD为平行四边形，所以 所以或，
解得或，代入成立。
（2）解法二：因为，故直线FD的方程为
联立方程组消元得：，解得或 
故点或.
1）当时，设，
联立方程组消元得（*）
根据韦达定理有①， ②  
又因为四边形是平行四边形，所以，将坐标代入有  ③ 
代入①有，，再代入②有  
整理得此时（*）的判别式,符合题意. 
2）当时，同理可解得。
考点：（1）抛物线的定义；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）弦长公式的应用；（4）向量加法的平行四边形法则；（5）韦达定理的应用。