题目内容
如图在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(),点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(I)求向量的坐标;
(Ⅱ)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值.
【答案】分析:(1)过D作DE⊥BC,垂足为E,根据题意可得BD=1,CD=,所以DE=CD•sin30°=.即可得到OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-,进而得到点D的坐标.
(2)依题意可得:分别求出和的坐标表示,进而得到答案.
解答:解:(1)过D作DE⊥BC,垂足为E,
在Rt△BDC中,因为∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,
所以可得BD=1,CD=,
∴DE=CD•sin30°=.
所以OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-,
∴D点坐标为(0,-),
所以=(0,-).
(2)依题意可得:,
所以.
因为向量和的夹角为θ,
所以cosθ==.
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征,进而得到线面关系建立坐标系,再利用向量的有关知识解决空间问题.
(2)依题意可得:分别求出和的坐标表示,进而得到答案.
解答:解:(1)过D作DE⊥BC,垂足为E,
在Rt△BDC中,因为∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,
所以可得BD=1,CD=,
∴DE=CD•sin30°=.
所以OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-,
∴D点坐标为(0,-),
所以=(0,-).
(2)依题意可得:,
所以.
因为向量和的夹角为θ,
所以cosθ==.
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征,进而得到线面关系建立坐标系,再利用向量的有关知识解决空间问题.
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