题目内容
已知数列{an}中,a1=1,a2=r(r>0)且an+2=qan(q>0,q≠1),又设bn=a2n-1-a2n(n=1,2,3,…)
(Ⅰ)求数列{bn}的通项bn及前n项和Sn;
(Ⅱ)假设对任意n>1都有Sn>bn,求r的取值范围.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项bn及前n项和Sn;
(Ⅱ)假设对任意n>1都有Sn>bn,求r的取值范围.
分析:(1)由题意可得 bn=a2n-1-a2n =qa2n-3-qa2n-2 =q(a2n-3-a2n-2)=qbn-1,故数列{bn}是以q为公比的等比数列,b1=a1-a2=1-r,由此求得数列{bn}的通项bn及前n项和Sn .
(2)由于 对任意n>1都有Sn>bn,故 s2>b2,化简可得 (1-r)(1+q)>q(1-r).再由 1+q>q>0,可得 1-r>0,再结合条件求得r的取值范围.
(2)由于 对任意n>1都有Sn>bn,故 s2>b2,化简可得 (1-r)(1+q)>q(1-r).再由 1+q>q>0,可得 1-r>0,再结合条件求得r的取值范围.
解答:解:(1)由题意可得 bn=a2n-1-a2n =qa2n-3-qa2n-2 =q(a2n-3-a2n-2)=qbn-1,
故数列{bn}是以q为公比的等比数列,b1=a1-a2=1-r,
∴bn=qn-1(1-r),
由等比数列前n项和公式求得 sn=(1-r)•
.
(2)∵对任意n>1都有Sn>bn,
∴s2>b2,即(1-r)•
>qn-1(1-r),即 (1-r)(1+q)>q(1-r).
再由 1+q>q>0,可得 1-r>0,∴r<1.
又r>0,∴1>r>0,即 r∈(0,1),
故r的取值范围为 (0,1).
故数列{bn}是以q为公比的等比数列,b1=a1-a2=1-r,
∴bn=qn-1(1-r),
由等比数列前n项和公式求得 sn=(1-r)•
1-qn |
1-q |
(2)∵对任意n>1都有Sn>bn,
∴s2>b2,即(1-r)•
1-q2 |
1-q |
再由 1+q>q>0,可得 1-r>0,∴r<1.
又r>0,∴1>r>0,即 r∈(0,1),
故r的取值范围为 (0,1).
点评:本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式,等比关系的确定,等比数列的前n项和公式的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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A、
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B、
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C、
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D、
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