题目内容
某种商品在30天内的销售价格P(元)与时间t天的函数关系用图甲表示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t天之间的关系如图所示:
(1)根据所提供的图象(图甲)写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式;
(2)在所给的直角坐标系(图乙)中,根据表中所提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定一个日销售量Q与时间t的一次函数关系式.
(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)
t(天) | 5 | 15 | 20 | 30 |
Q(件) | 35 | 25 | 20 | 10 |
解:(1)当0<t<25时,设P=kt+b,则,解得,∴P=t+20;
当25≤t≤30时,设P=mt+n,则,解得,∴P=-t+100.
综上所述:p=.
(2)如图所示:
设Q=kt+b,则,解得,
所以日销售量Q与时间t的一次函数关系式为:Q=-t+40.
(3)设销售额为S元,
当0<t<25时,S=P•Q=(t+20)•(-t+40)=-t2+20t+800=-(t-10)2+900,
∴当t=10时,Smax=900,
当25≤t≤30时,S=P•Q=(100-t)(-t+40)=t2-140t+4000=(t-70)2-900,
∴当t=25时,Smax=1125>900,
综上所述,第25天时,销售额最大为1125元.
分析:(1)根据图象可知,每件商品的销售价格P与时间t的函数关系式满足一次函数,根据图象中所提供的点进行求解;
(2)利用待定系数法:设设Q=kt+b,由两点列方程组,解出即可求得;
(3)由日销售金额=每件的销售价格×日销售量,且由表格中所提供的数据可知Q=t-40,从而结合(1)可得y=,利用二次函数的性质进行求解最大值.
点评:本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及求分段函数的最值问题,同时考查了根据图象求函数解析式,属于中档题.
当25≤t≤30时,设P=mt+n,则,解得,∴P=-t+100.
综上所述:p=.
(2)如图所示:
设Q=kt+b,则,解得,
所以日销售量Q与时间t的一次函数关系式为:Q=-t+40.
(3)设销售额为S元,
当0<t<25时,S=P•Q=(t+20)•(-t+40)=-t2+20t+800=-(t-10)2+900,
∴当t=10时,Smax=900,
当25≤t≤30时,S=P•Q=(100-t)(-t+40)=t2-140t+4000=(t-70)2-900,
∴当t=25时,Smax=1125>900,
综上所述,第25天时,销售额最大为1125元.
分析:(1)根据图象可知,每件商品的销售价格P与时间t的函数关系式满足一次函数,根据图象中所提供的点进行求解;
(2)利用待定系数法:设设Q=kt+b,由两点列方程组,解出即可求得;
(3)由日销售金额=每件的销售价格×日销售量,且由表格中所提供的数据可知Q=t-40,从而结合(1)可得y=,利用二次函数的性质进行求解最大值.
点评:本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及求分段函数的最值问题,同时考查了根据图象求函数解析式,属于中档题.
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