Question

某种商品在30天内的销售价格P（元）与时间t天的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t天之间的关系如图所示：

（1）根据所提供的图象（图甲）写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系（图乙）中，根据表中所提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的一次函数关系式．
（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）

t（天）	5	15	20	30
Q（件）	35	25	20	10

Answer 1

分析：（1）根据图象可知，每件商品的销售价格P与时间t的函数关系式满足一次函数，根据图象中所提供的点进行求解；
（2）利用待定系数法：设设Q=kt+b，由两点列方程组，解出即可求得；
（3）由日销售金额=每件的销售价格×日销售量，且由表格中所提供的数据可知Q=t-40，从而结合（1）可得y=

-t2+20t+800，0＜t＜25 t2-140t+4000，25≤t≤30

，利用二次函数的性质进行求解最大值．

解答：解：（1）当0＜t＜25时，设P=kt+b，则

b=20 25k+b=45

，解得

b=20 k=1

，∴P=t+20；
当25≤t≤30时，设P=mt+n，则

25m+n=75 30m+n=70

，解得

m=-1 n=100

，∴P=-t+100．
综上所述：p=

t+20，0＜t＜25 -t+100，25≤t≤30

．
（2）如图所示：

设Q=kt+b，则

5k+b=35 15k+b=25

，解得

k=-1 b=40

，
所以日销售量Q与时间t的一次函数关系式为：Q=-t+40．
（3）设销售额为S元，
当0＜t＜25时，S=P•Q=（t+20）•（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900，
∴当t=10时，S_max=900，
当25≤t≤30时，S=P•Q=（100-t）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
∴当t=25时，S_max=1125＞900，
综上所述，第25天时，销售额最大为1125元．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及求分段函数的最值问题，同时考查了根据图象求函数解析式，属于中档题．