我国对PM2.5采用如下标准:PM2.5日均值m空气质量等级m＜35一级35≤m≤75二级m＞75超标某市环保局从2014年的PM2.5监测数据中.随机抽取10天的数据作为样本.监测值如茎叶图所示．(1)从这10天的数据中任取3天的数据.记ξ表示这3天中空气质量达到一级的天数.求ξ的分布列及数学期望,(2)设这一年的360天中空气质量达到一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

我国对PM2.5采用如下标准：

PM2.5日均值m（微克/立方米）	空气质量等级
m＜35	一级
35≤m≤75	二级
m＞75	超标

某市环保局从2014年的PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示这3天中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列及数学期望；
（2）设这一年的360天中空气质量达到一级的天数为η，以这10天的PM2.5日均值来估计η取何值时的概率最大．

分析（1）确定随机变量k=0，1，2，3，利用P（ξ=k）=$\frac{{{C}_{4}^{k}C}_{6}^{3-k}}{{C}_{10}^{3}}$求解概率得出分布列．
（2）一级的概率为$\frac{2}{5}$，二级或三级的概率为$\frac{3}{5}$，判断为二项分布，运用概率公式得出P（η=k）=${C}_{10}^{k}$（$\frac{2}{5}$）^k×（$\frac{3}{5}$）^10-k，
借助不等式组得出即$\left\{\begin{array}{l}{{2C}_{10}^{k}≥{3C}_{10}^{k-1}}\\{{3C}_{10}^{k}≥{2C}_{10}^{k+1}}\end{array}\right.$，利用排列组合求解即可得出k=4时概率最大，
运用样本估计总体即可得出这一年的360天中空气质量达到一级的天数为360×$\frac{4}{10}$=144．

解答解：（1）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3
利用P（ξ=k）=$\frac{{{C}_{4}^{k}C}_{6}^{3-k}}{{C}_{10}^{3}}$（k=0，1，2，3）即得分布列：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

数学期望E（ξ）=0×$\frac{1}{6}$$+1×\frac{1}{2}$$+2×\frac{3}{10}$$+3×\frac{1}{30}$=$\frac{6}{5}$；或运用E（ξ）=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$
（2）一级的概率为$\frac{2}{5}$，二级或三级的概率为$\frac{3}{5}$
P（η=k）=${C}_{10}^{k}$（$\frac{2}{5}$）^k×（$\frac{3}{5}$）^10-k，
根据$\left\{\begin{array}{l}{P（k）≥P（k-1）}\\{P（k）≥P（k+1）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{2C}_{10}^{k}≥{3C}_{10}^{k-1}}\\{{3C}_{10}^{k}≥{2C}_{10}^{k+1}}\end{array}\right.$
$\frac{17}{5}$≤k$≤\frac{22}{5}$，
∴k=4时概率最大，
∴10天的PM2.5日均值来估计η取4，
估计总体：这一年的360天中空气质量达到一级的天数为360×$\frac{4}{10}$=144．

点评本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要注意茎叶图的合理运用，充分利用样本估计总体解决．