Question

以下命题中正确的个数为（　　）
①若a²+b²=8，则ab的最大值为4；
②若a＞0，b＞0，且2a+b=4，则ab的最大值为4；
③若a＞0，b＞0，且a+b=4，则

1

a

+

1

b

的最小值为1；
④若a＞0，则

2a

a2+1

的最小值为1．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根据ab≤

a2+b2

2

推断①正确；根据2a+b≥2

2ab

求得ab的最大值，判断②不正确；利用

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(

a

4

+

b

4

)展开后根据均值不等式求得

1

a

+

1

b

的最小值判断出③正确；根据

2a

a2+1

≤

2a

2a

判断出

2a

a2+1

的最大值为1，推断④不正确．

解答：解：由①知，a²+b²=8，
∴ab≤

a2+b2

2

=4成立（当且仅当a=b=2或a=b=-2时，取等号），故①正确．
由②知4=2a+b≥2

2ab

，
∴

2ab

≤2，∴ab≤2，
故②不正确．由③可知，a+b=4，∴

a

4

+

b

4

=1．∴

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(

a

4

+

b

4

)=

1

4

+

b

4a

+

a

4b

+

1

4

≥

1

2

+2

b 4a ． a 4b

=

1

2

+

1

2

=1（当且仅当a=b=2时取等号），故③正确．
由④

2a

a2+1

≤

2a

2a

=1（当且仅当a=1时取等号），
故

2a

a2+1

的最大值是1，故④不正确．
故正确的有①③．
故选B

点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题的应用．要特别留意基本不等式中等号成立的条件．