题目内容
设椭圆
(1)求椭圆离心率e;
(2)设N与M关于原点O对称,若以N为圆心,b为半径的圆与l相切,且

【答案】分析:(1)根据题意可得,4c=b+d+|MF|=b+c+
,化简可得3c2=bc+a3=bc+b2+c2;进而可得b=c,则a=
c,计算可得答案.
(2)由(1)中a、b的关系,设椭圆方程为x2+2y2=2b2,联立两者的方程,可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2b2=0;令其△>0得,
b2>
,由根与系数的关系,可以表示出
,结合题意,以N为圆心,b为半径的圆与l相切,可得又
=b,化简可得b2(k2+1)=4k2,代入
中,解可得k的值,进而可得a、b的值;进而可得答案.
解答:解:(1)根据题意,椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项,
则4c=b+d+|MF|=b+c+
(
>a>1),即3c2=bc+a3=bc+b2+c2;
化简可得,b=c,则a=
c,
则e=
;
(2)设椭圆方程为x2+2y2=2b2,
联立
,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2b2=0;
由△>0得,b2>
,
且x1+x2=-
,x1•x2=
,
=
=-
①;
又
=b得b2(k2+1)=4k2,
代入①解得:k2=1;
即b2=2,a2=4;
椭圆的方程为
+
=1.
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,注意在解题时,联立直线与椭圆的方程,一定要令△>0,并计算k、b的关系;保证直线与椭圆有两个不同的交点.


(2)由(1)中a、b的关系,设椭圆方程为x2+2y2=2b2,联立两者的方程,可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2b2=0;令其△>0得,
b2>




解答:解:(1)根据题意,椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项,
则4c=b+d+|MF|=b+c+


化简可得,b=c,则a=

则e=

(2)设椭圆方程为x2+2y2=2b2,
联立

由△>0得,b2>

且x1+x2=-





又

代入①解得:k2=1;
即b2=2,a2=4;
椭圆的方程为


点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,注意在解题时,联立直线与椭圆的方程,一定要令△>0,并计算k、b的关系;保证直线与椭圆有两个不同的交点.

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