题目内容

设椭圆(a>b>1)右焦点为F,它与直线l:y=k(x+1)相交于P、Q两点,l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d,若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项.
(1)求椭圆离心率e;
(2)设N与M关于原点O对称,若以N为圆心,b为半径的圆与l相切,且求椭圆C的方程.
【答案】分析:(1)根据题意可得,4c=b+d+|MF|=b+c+,化简可得3c2=bc+a3=bc+b2+c2;进而可得b=c,则a=c,计算可得答案.
(2)由(1)中a、b的关系,设椭圆方程为x2+2y2=2b2,联立两者的方程,可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2b2=0;令其△>0得,
b2,由根与系数的关系,可以表示出,结合题意,以N为圆心,b为半径的圆与l相切,可得又=b,化简可得b2(k2+1)=4k2,代入中,解可得k的值,进而可得a、b的值;进而可得答案.
解答:解:(1)根据题意,椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项,
则4c=b+d+|MF|=b+c+>a>1),即3c2=bc+a3=bc+b2+c2
化简可得,b=c,则a=c,
则e=
(2)设椭圆方程为x2+2y2=2b2
联立,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2b2=0;
由△>0得,b2
且x1+x2=-,x1•x2=
==- ①;
=b得b2(k2+1)=4k2
代入①解得:k2=1;
即b2=2,a2=4;
椭圆的方程为+=1.
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,注意在解题时,联立直线与椭圆的方程,一定要令△>0,并计算k、b的关系;保证直线与椭圆有两个不同的交点.
练习册系列答案
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