Question

下列命题中：
①“若x+y=0，则x²+y²=0”的逆命题
②若f（x）为R上的奇函数，x＞0时f（x）=2x+1，则x＜0时，f（x）=-2x+1
③若f（x）=x，x∈[1，4]，则函数y=f（x）+2f（x²）的最大值是36．其中正确的命题是

 

．

Answer 1

分析：①中，“若x+y=0，则x²+y²=0”的逆命题为“若x²+y²=0，则x+y=0”，由实数的性质易判断其真假．
②中，若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，-x＞0时，则根据x＞0时f（x）=2x+1，我们易给出f（-x）的解析式，再根据f（-x）=-f（x）我们可得到x＜0时，f（x）的解析式．
③中，若f（x）=x，则f（x）在区间[1，4]为增函数，而函数y=f（x）+2f（x²）的定义域为[1，2]，且在区间[1，2]上也为增函数，则当x=2时，函数y=f（x）+2f（x²）有最大值，代入即可判断③的真假．

解答：解：若x+y=0，则x²+y²=0”的逆命题为“若x²+y²=0，则x+y=0”
∵x²+y²=0时，x=y=0
∴x+y=0
故①正确；
当x＜0时，-x＞0时
∵x＞0时f（x）=2x+1，
∴f（-x）=2（-x）+1，
又∵f（x）为R上的奇函数
∴f（-x）=2（-x）+1=-f（x）
∴当x＜0时，f（x）=2x-1，故②错误
∵f（x）=x，x∈[1，4]，
∴函数y=f（x）+2f（x²）的定义域为[1，2]
且函数在区间[1，2]上为增函数，
故当x=2时，函数有最大值y=2+2×2²=10
故③错误
故答案：①

点评：本题考查的知识点是利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，函数的最值，及四种命题真假的判断，在求复合函数的最值时，我们要先分析函数的定义域及单调性，再根据单调性求函数的最值，但函数的定义域容易被忽略．