Question

某系统采用低息贷款的方式对所属企业给予扶持，该系统制定了评分标准，并根据标准对企业进行评估，然后依据评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，该系统随机抽查了所属的部分企业，以下图表给出了有关数据（将频率看作概率）

评估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）
评定类型	不合格	合格	良好	优秀
贷款金额（万元）	0	200	400	800

（1）任抽一家所属企业，求抽到的企业等级是优秀或良好的概率；
（2）对照标准，企业进行了整改，整改后，如果优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使所属企业获得贷款的平均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）设任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业、优秀企业的概率分别是p₁、p₂、p₃、p₄．则根据频率分布直方图可求出p1、p2、p3、p4
进而计算出抽到的企业等级是优秀或良好的概率．
（2）设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业的概率分别为a，b，c由题意得2b=a+c．又因为a+b+c+0.25=1所以b=0.25，a+c=0.5．
设整改后一家企业获利的低息贷款为ξ，计算出ξ的分布列根据有关公式计算出Eξ=450-400a，因为Eξ≥410，所以a≤10%．

解答：解：（1）设任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业、优秀企业的概率分别是p₁、p₂、p₃、p₄
则根据频率分布直方图可知：P₁=0.015×10=0.15
P₂=0.04×10=0.4，P₃=0.02×10=0.2，P₄=0.025×10=0.25
所以抽到的企业等级是优秀或良好的概率P₃+P₄=0.2+0.25=0.45．
（2）设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业的概率分别为a，b，c
因为整改后不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列
所以a，b，c也成等差数列即2b=a+c
又因为a+b+c+0.25=1
所以b=0.25，a+c=0.5
设整改后一家企业获利的低息贷款为ξ，则ξ的分布列为

ξ	0	200	400	800
P	a	0.25	c	0.25

所以Eξ=450-400a
∵Eξ≥410，
∴a≤10%
∴整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是10%．

点评：本题主要考查频率分布直方图、随机变量的分布列及数学期望等概率与统计的基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、分析与解决问题能力及必然与或然的数学思想、应用意识等．