Question

7．设∠POQ=60°在OP、OQ上分别有动点A，B，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=6，△OAB的重心是G，则|$\overrightarrow{OG}$|的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据G是△OAB的重心，可得$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，设|$\overrightarrow{OA}$|=a，|$\overrightarrow{OB}$|=b，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=6，∠POQ=60°，可得ab=12，从而可得${\overrightarrow{OG}}^{2}=\frac{1}{9}$（a²+b²+12）≥$\frac{1}{9}$（2ab+12）=4，由此可得|$\overrightarrow{OG}$|的最小值．

解答 解：∵G是△OAB的重心，∴$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，
设|$\overrightarrow{OA}$|=a，|$\overrightarrow{OB}$|=b，由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=6，∠POQ=60°，得
ab•cos60°=6，即ab=12，
从而${\overrightarrow{OG}}^{2}=\frac{1}{9}$（a²+b²+12）≥$\frac{1}{9}$（2ab+12）=4（当且仅当a=b=2$\sqrt{3}$时，取等号），
∴当a=b=2$\sqrt{3}$时，|$\overrightarrow{OG}$|的最小值是2．
故选：B．

点评 本题考查三角形的重心，考查向量知识的运用，解题的关键是根据G是△OAB的重心，是中档题．