Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD中是正方形，侧面PAB⊥底面ABCD中，PA=AB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．
（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：AE⊥PF；
（Ⅲ）若PB=$\sqrt{2}$AB，二面角E-AF-B的余弦值等于$\frac{\sqrt{11}}{11}$，试判断点F在边BC上的位置，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形中位线定理及线面平行判定定理即可结论；
（Ⅱ）通过ABCD是正方形得BC⊥AB，利用侧面PAB⊥底面ABCD，及线面垂直判定定理得BC⊥平面PAB，从而BC⊥AE，再通过线面垂直性质定理即得结论；
（Ⅲ）通过PA=AB，PB=$\sqrt{2}$AB及BC⊥平面PAB，可得AD，AB，AP两两垂直，分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，将二面角E-AF-B的余弦值转化为各平面的法向量之间的夹角的余弦值，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）在△PBC中，∵点E是PB中点，点F是BC中点，∴EF∥PC，
又∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC；
（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥AB，
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，且BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，点E是PB的中点，∴AE⊥PB，
又∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，
∵PF?平面PBC，∴AE⊥PF；
（Ⅲ）结论：点F为边BC上靠近B点的三等分点；
理由如下：
∵PA=AB，PB=$\sqrt{2}$AB，∴PA⊥AB，
由（II）知，BC⊥平面PAB，
又∵BC∥AD，∴AD⊥平面PAB，即AD⊥PA，AD⊥AB，
∴AD，AB，AP两两垂直，
分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：
不妨设AB=2，BF=m，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），
于是$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AF}$=（m，2，0），
设平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（p，q，r），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{q+r=0}\\{mp+2q=0}\end{array}\right.$，
取p=2，则q=-m，r=m，得$\overrightarrow{n}$=（2，-m，m），
由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，
所以AP⊥平面ABCD，即平面ABF的一个法向量为$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
根据题意，$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{|2m|}{\sqrt{4+2{m}^{2}}×2}$=$\frac{\sqrt{11}}{11}$，解得m=$\frac{2}{3}$，
∵BC=AB=2，
∴BF=$\frac{1}{3}$BC，即点F为边BC上靠近B点的三等分点．

点评 本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系利用向量知识是解决本题的关键，属于难题．