Question

1．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=3，则|$\overrightarrow{c}$|的最小值是1，最大值是3．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，由于|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，可得$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．不妨设$\overrightarrow{a}$=（m，0）（m≥1）.$\overrightarrow{b}$=（0，n）（n＞0）.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．利用|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=3，可得m²+n²=4，$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+$（y-\frac{n}{2}）^{2}$=4．即可得出|$\overrightarrow{c}$|的最值．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．
不妨设$\overrightarrow{a}$=（m，0）（m≥1）．
$\overrightarrow{b}$=（0，n）（n＞0）.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=3，
∴m²+n²=4，
x（x-m）+y（y-n）=3，即$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+$（y-\frac{n}{2}）^{2}$=4．
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$∈[2-1，2+1]=[1，3]．
因此$|\overrightarrow{c}|$的最小值是1，最大值是3．
故答案分别为：1；3．

点评 本题考查了向量数量积运算及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．