Question

7．给出以下命题：
①f（x）=tanx的图象关于点（kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈Z）对称；
②f（x）=-cos（kπ+x）（k∈Z）是偶函数；
③f（x）=cos|x|的最小正周期为π的周期函数；
④y=3|sinx|+4|cosx|的最大值为5；
⑤y=sin²x-cosx的最小值为-1．
其中所有真命题序号是①②④⑤．

Answer 1

分析 根据正切函数的对称性，可判断①；根据诱导公式和余弦函数的奇偶性，可判断②；根据函数图象的对折变换和余弦函数的奇偶性，可判断③；求出函数的最大值，可判断④；求出函数的最小值，可判断⑤．

解答 解：f（x）=tanx的图象的对称中心为：（$\frac{1}{2}$kπ，0）（k∈Z），点（kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈Z）均为函数图象的对称中心，故①正确；
当k为奇数时，f（x）=-cos（kπ+x）=cosx为偶函数；当k为偶数时，f（x）=-cos（kπ+x）=-cosx为偶函数，故②正确；
f（x）=cos|x|=cosx是最小正周期为2π的周期函数，故③错误；
y=3|sinx|+4|cosx|的值域等于y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域，其中φ是满足sinφ=$\frac{4}{5}$，cosφ=$\frac{3}{5}$的锐角，
故当x+φ=$\frac{π}{2}$时，函数的最大值为5，故④正确；
y=sin²x-cosx=1-cos²x-cosx=-（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，当cosx=1时，函数取最小值为-1，故⑤正确；
故真命题的序号是：①②④⑤，
故答案为：①②④⑤

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握各种三角函数的图象和性质，是解答的关键．