Question

求函数y=

2sinx(1-sinx)

3-cos2x+4sinx

，x∈（0，

π

2

）的值域．

Answer 1

分析：将原函数中不同名的三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为熟悉的一元二次函数求解．

解答：解：y=

2sinx(1-sinx)

3-(1-2sin2x)+4sinx

=

-sin2x+sinx

sin2x+2sinx+1

．
设t=sinx，则由x∈（0，

π

2

）?t∈（0，1）．
对于y=

-t2+t

t2+2t+1

=

-(t+1)2+3(t+1)-2

(t+1)2

=-1+

3

t+1

-

2

(t+1)2

，
令

1

t+1

=m，m∈（

1

2

，1），
则y=-2m²+3m-1=-2（m-

3

4

）²+

1

8

．
当m=

3

4

∈（

1

2

，1）时，y_max=

1

8

，
当m=

1

2

或m=1时，y=0．
∴0＜y≤

1

8

，即函数的值域为y∈（0，

1

8

]．

点评：本题的解法较多，此种解法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围．