Question

1．求函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$的单调区间和值域．

Answer 1

分析 令t=x²-2x，则y=（$\frac{1}{2}$）^t，函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$=（$\frac{1}{2}$）^t，求得二次函数t的增区间，即为函数y的减区间；求得二次函数t的减区间，即为函数y的增区间．而t=（x-1）²-1≥-1，利用指数函数的单调性求得函数y的值域．

解答 解：令t=x²-2x，则y=（$\frac{1}{2}$）^t，
由于二次函数t的对称轴为 x=1，
可得函数t在（-∞，1]上是减函数，函数y在（-∞，1]上是增函数，
故函数y的增区间为（-∞，1]；
函数t在（1，+∞）上是增函数，函数y在（1，+∞）是减函数，
故函数y的减区间为（1，+∞）．
而t=（x-1）²-1≥-1，
所以y=（$\frac{1}{2}$）^t≤（$\frac{1}{2}$）^-1=2，
又y＞0，即有0＜y≤2．
故所求的函数的值域是（0，2]．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．