Question

已知函数f(x)=ex-

x2

2

-ax-1，其中a为实数．
（1）当a=-

1

2

时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥

1

2

时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=-

1

2

代入函数解析式，求出f（1），求出函数的导函数，得到f′（1），由点斜式写出切线方程；
（2）把不等式f（x）≥0恒成立转化为a≤

ex- x2 2 -1

x

恒成立．利用导数求函数g(x)=

ex- x2 2 -1

x

的最小值，则a小于等于函数g（x）的最小值，答案可求．

解答：解：（1）当a=-

1

2

时，f(x)=ex-

x2

2

+

1

2

x-1，f（1）=e-1，
f′(x)=ex-x+

1

2

，f′(1)=e-

1

2

．
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-e+1=(e-

1

2

)（x-1），
即(e-

1

2

)x-y-

1

2

=0；
（2）由f（x）≥0，得ax≤ex-

x2

2

-1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex- x2 2 -1

x

．
令g(x)=

ex- x2 2 -1

x

，则g′(x)=

(ex-x)x-(ex- x2 2 -1)

x2

=

ex(x-1)- x2 2 +1

x2

．
令h（x）=ex(x-1)-

x2

2

+1，则h′（x）=x（e^x-1）．
∵x≥

1

2

，∴h′（x）＞0，即h（x）在[

1

2

，+∞）上单调递增．
∴h（x）≥h（

1

2

）=

7

8

-

e

2

＞0．
∴g′（x）＞0．故g（x）在[

1

2

，+∞）上单调递增．
则g（x）≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

．
∴a的取值范围是(-∞，2

e

-

9

4

]．

点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学数学思想方法，是难题．