Question

3．已知点P在以坐标轴为对称轴，长轴在x轴上的椭圆上，点P到椭圆两焦点的距离分别为4$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$，且点P与两焦点连线所成角的平分线交x轴于Q（1，0），求椭圆的方程．

Answer 1

分析 利用椭圆的定义及角平分线的性质，求出a，c，可得b，即可求椭圆的方程．

解答 解：由题意，2a=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，∴a=3$\sqrt{3}$，
∵点P与两焦点连线所成角的平分线交x轴于Q（1，0），
∴$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1+c}{c-1}$，∴c=3，
∴b=$\sqrt{27-9}$=3$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{18}$=1．

点评 本题考查求椭圆的方程，考查椭圆的定义及角平分线的性质，正确运用椭圆的定义及角平分线的性质是关键．