题目内容
函数f（x）=x+
（x＞0）
（Ⅰ）写出函数f（x）的单调递增区间，并给出证明；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递减区间，不必证明；
（Ⅲ）求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值及相应的x的值．
| 9 | x |
（Ⅰ）写出函数f（x）的单调递增区间，并给出证明；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递减区间，不必证明；
（Ⅲ）求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值及相应的x的值．
分析：（Ⅰ）利用定义法证明函数的单调性，并写出函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）直接写出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）利用函数在区间[1，5]上的单调性求函数的最值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）直接写出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）利用函数在区间[1，5]上的单调性求函数的最值．
解答：解：（I）函数f(x)=x+
(x＞0)的单调递增区间是（3，+∞）．
证明：设x1，x2∈（3，+∞），且 x1＜x2．
则x1-x2＜0，x1x2-9＞0，x1x2＞0，
，
即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在区间（3，+∞）上是增函数．
即函数f(x)=x+
(x＞0)的单调递增区间是（3，+∞）．
（II）函数f(x)=x+
(x＞0)的递减区间是（0，3）．
（III）由第（I）、（II）可得函数f（x）在区间[1，3）上是减函数，在（3，5]上是增函数．
又f（1）=10，f（3）=4，f（5）═6.8，
所以f（x）在区间[1，5]上的最大值为10，相应的x为1．
f（x）在区间[1，5]上的最小值为4，相应的x为3．
| 9 |
| x |
证明：设x1，x2∈（3，+∞），且 x1＜x2．
则x1-x2＜0，x1x2-9＞0，x1x2＞0，
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即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在区间（3，+∞）上是增函数．
即函数f(x)=x+
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| x |
（II）函数f(x)=x+
| 9 |
| x |
（III）由第（I）、（II）可得函数f（x）在区间[1，3）上是减函数，在（3，5]上是增函数．
又f（1）=10，f（3）=4，f（5）═6.8，
所以f（x）在区间[1，5]上的最大值为10，相应的x为1．
f（x）在区间[1，5]上的最小值为4，相应的x为3．
点评：本题主要考查函数单调性的证明和利用单调性求函数的最值问题，利用定义法或导数是判断函数单调性的基本方法．
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
(x＞0)在区间 上递增；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |