Question

在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，  ∴SA⊥AB，SA⊥AC. 又AB∩AC=A，  ∴SA⊥平面ABC. 由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，  由三垂线定理，得SC⊥BC.     （Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC， ∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角. 在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得 SC==4. 在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cosSCA=. ∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°. （Ⅲ）解：过点C作CD∥BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角.如图. 又四边形ABCD是平行四边形， DC=AB=， SA=， SD==5. 在△SCD中，cosSCD= ∴SC与AB所成的角的大小为arccos.